viernes, 11 de enero de 2008

CLASE 1 LOS NÚMEROS REALES

LOS NÚMEROS REALES

Para llegar al Conjunto de los Números Reales, vamos a dar un vistazo a los subconjuntos que se pueden identificar en la Recta Real:

Los número 1,2,3… se denominan números naturales. El conjunto de los números naturales se representan con la letra N, así N= {1,2,3...}
Si se suman dos números naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado no
necesariamente es un número natural. Aqui nacen los números enteros.

Los número enteros representados por Z y dados por Z= {...,-3,-2,-1,0, 1,2,3....}
son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación, esto quiere decir que si
multiplicamos dos número enteros el resultado es entero. Sin embargo los números enteros no son cerrados bajo la división, es decir que si dividimos dos números enteros el resultado no necesariamente es un número entero, puede transformarse en un número racional.

Los números racionales, Q, son aquellos expresados de la forma n/m, donde n, m son números enteros con m distinto de cero, es cerrado bajo las cuatro operaciones, es decir, sumemos, restemos, multipliquemos o dividamos dos números racionales el resultado siempre va a ser un número racional. Sin embargo no contempla todos los números que podemos conseguir. Por ejemplo 2 π que es el perímetro de una circunferencia de radio1, no es un número racional. Tampoco lo es la raíz cuadrada de 2 ≈ 1,41.... , este número representa la solución de la ecuación( h)^2= 2 y es un número que está en la naturaleza pues él es la longitud de la
hipotenusa de un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1.
Estos números que no son racionales, pues no pueden ser expresados de la forma n/m y se llaman números irracionales. Una diferencia entre los números racionales y los irracionales está dada en su representación decimal. Los números racionales pueden ser representados por números decimales que son exactos como (1/4 = 0.25) o por números decimales que se repiten indefinidamente (son periódicos en el tiempo) como 1/6= 0.166666..... ó 1/11= 0.090909090.... En cambio los números irracionales son representados por números decimales que no terminan (no son exactos) y que no tienen ninguna periodicidad es decir que no tienen ninguna secuencia que se repita.

Los números reales son la unión de los números racionales e irracionales raíz cuadrada de 2 es un número irracional y por tanto real.

Ejemplo: diga cual de los siguientes números son naturales, enteros, racionales, irracionales y reales:
a) -3: es un número entero y también racional porque puede escribirse de la forma m/n es decir -3/1 y es real.
b) -4/3: es un numero racional por su forma n/m y también es real.
c) 0.2: es un número racional, su expresión decimal es exacta y también puede expresarse como 2/10; también es real.
d) π + 1: es irracional, observe que como π (número pi) es irracional, su expansión decimal es infinito (no periódica), al sumarle 1 da como resultado un número cuya expansión también es infinita no periódica. y por tanto es un número real.
e) 101: es un número natural, también se puede decir que es entero, racional y real, porque el puede expresarse de la forma 101/1 que es racional, y al ser racional también es real. Decimos que es entero porque pertenece al subconjunto de los números enteros positivos.

Ejercicio de desarrollo:
Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales, racionales y reales:
a) 3π:
b) raíz cuadrada de 2 + 2:
c) -3.1:

Los números reales pueden ser representados en la recta real. Para ello se traza una línea recta
y se escoge arbitrariamente un punto en ella, él cual representará el número cero (0). Se escoge una unidad de medida y a partir del cero (0) se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a la derecha, los puntos medidos representan los números enteros en el orden dado en la figura. Los puntos a la derecha del cero (0) representarán los números positivos y a la izquierda están representados los números negativos.
Hay métodos precisos para representar los números irracionales a través de construcciones geométricas, sin embargo en este tema se harán representaciones no muy exactas de estos números a través de los primeros dígitos de su representación decimal.
Veamos la Recta Real:

(13/5)
-----__-4__.__-3____-2___-1___o___1_.__2___._3____4______-----
( -10/3) ( raíz de 2)≈1.41...

Ejercicio de Desarrollo:
Represente aproximadamente los siguientes números en la Recta Real:
a) 3
π;
b) (raíz cuadrada de 2)+2;
c) -3.1;
d) -3/5;

Resumen: En esta clase vimos los Subconjuntos de números que representamos en la recta Real:
Los Números Naturales (N)
Los Números Enteros (Z)
Los Números Racionales (Q)
Los Irracionales (I)
Los Reales (R) representados por la unión (Q U I)

Con ellos podemos desarrollar las operaciones básicas de:
* Adición
* Sustracción
* Multiplicación
* División
* Potenciación

Para ello debemos tener en cuenta algunas propiedades que poseen estos subconjuntos, por lo que los invito a investigar para la próxima clase las siguientes APH (Actividades para el hogar):
1) Identificar las propiedades que se aplican a cada subconjunto de números con su respectivo ejemplo.
2) Realizar los ejercicios de la página 1, de operaciones básicas.





1 comentario:

Anónimo dijo...

ESTA MUY BIEN LA PAGINA, ES BUENO TENER UN MATERIAL DE APOYO APARTE DEL QUE USTED NOS DA, PERO NO SE BUSCAR LOS EJERCICIOS QUE NOS ASIGNO QUE ESTABA EN LA PAGINA.
LE AGRADECERIA QUE ME GUIE DONDE ESTA LOS EJERCICIO.
ATTE.
CIU-2008 SECCION 08 C.I. 17.456.982